آموزش ریاضی

اعداد تاكسي :
زماني كه رياضيدان انگليسي هاردي براي عيادت رياضيدان شهير هند رامانوجان به
بيمارستان رفته بود به اين موضوع اشاره كرد كه شماره تاكسي كه به وسيله آن به
بيمارستان آمده، عدد بي ربط و بي خاصيت 1729 بوده است . رامانوجان بلافاصله
ضمن رد ادعاي هاردي به او يادآور شد كه اتفاقا 1729 بسيار جالب توجه است .
خود ۱۷۲۹ عدد اول است.
دو عدد ۱۷ و ۲۹ هر كدام عدد اول هستند.
جمع چهار رقم تشكيل دهنده آن ميشود ۱۹ كه اول است.
جمع دو عدد اوليه و دو عدد آخري ميشود ۸۱۱ كه باز هم عدد اول است
دو عدد ابتدايي(سمت چپ) اگر جمع شوند؛عدد ۸۲۹ ميشود كه باز هم عدد اول است.
دو عدد اوليه اگر از هم ديگر كسر شوند؛عدد ۶۷ ساخته ميشود كه باز هم
عدد اول است. سه عدد سازنده آن عدد اول است(۱و۷و ۲).
عدد اول؛عددي است كه فقط بر يك و خودش تقسيم ميشودبنحوي كه نتيجه تقسيم
عددي كسري نباشد(خارج تقسيم نداشته باشد)
جمع عددي اعداد تشكيل دهنده ۱۷۲۹ يا:۱+۷+۲+۹=۱۹ است؛
عكس ۱۹ عدد ۹۱ است؛ اگر ۱۹*۹۱بشودنتيجه برابر ۱۷۲۹ ميشود.
اين هم يكي ديگر از اختصاصات ۱۷۲۹ است كه در هر عددي ديده نميشود.
عدد 1729 اولين عددي است كه مي توان آنرا به دو طريق به صورت حاصلجمع
مكعبهاي دو عدد مثبت نوشت :
12 به توان 3 به علاوه 1 به توان 3 و 10 به توان 3 به علاوه 9 به توان 3 هردو برابر
1729 مي باشند .(اولين مطلب موجود در رابطه با اين خاصيت 1729 به كارهاي
بسي رياضيدان فرانسوي قرن هفدهم باز مي گردد.) حال اگر كمي مانند
رياضيدانها عمل كنيد بايد به دنبال كوچكترين عددي بگرديد كه به سه طريق مختلف
حاصلجمع مكعبهاي دو عدد مثبت است اين عدد87539319 مي باشد كه در
سال 1957توسط ليچ كشف شد: 414 به توان 3 + 255 به توان 3 و 423 به
توان 3+ 228 به توان 3 و 436 به توان 3 + 167 به توان 3 هر سه جوابشان برابر
87539319 است .
امروزه رياضيدانان عددي را كه به n طريق مختلف به صورت حاصلجمع مكعبهاي
دو عدد مثبت باشد ،n ــامين عدد تاكسي مي نامند و آنرا با Taxicab نمايش
مي دهند.جالبتر از همه اينكه ،هاردي و رايت ثابت كردند براي هر عدد طبيعي
n ناكوچكتر از 1 ،n ــامين عدد تاكسي وجود دارد !
هرچند، چهارمين تا هشتمين اعداد تاكسي نيز كشف شده اند ولي تلاشها براي
يافتن نهمين عدد تاكسي تاكنون نا كام مانده است . متاسفانه اطلاعات زيادي درباره
اعداد تاكسي موجود نيست . در ضمن ميتوان مسئله را از راههاي ديگر نيز گسترش
داد . مثلا همانگونه كه هاردي در ادامه داستان فوق از رامانو جان پرسيد و او قادر به
پاسخگويي نبود ، اين پرسش را مطرح كنيد: كوچكترين عددي كه به دوطريق
حاصلجمع توانهاي چهارم دو عدد مثبت مي باشد ،كدام است؟ اين عدد
توسط اويلر يافت شده است :635318657 حاصلجمع توان چهارم 59 و 158 همچنين
توانهاي چهارم 133 و 134 مي باشد.

معماهای جالب ریاضی

معمای 1

در زمان قديم كه روستاييان محصولات خودشان را بميدان براي فروش مي آ وردند

 يك زن روستايي يك سبد تخم مرغ بميدان آورده كه بفروشد.
هنوز هيچ نفروخته بود كه اسب يك سوار پاش خورد بسبد تخم مرغ. نتيحتا

بيشتر تخم مرغ ها شكستند.اسب سوار خيلي نا راحت شد واز روستايي

پوزش خوا ست و حاضر شد پول همه آنهارا بپردازد.
اسب سوار از روستايي سوال كرد": "مادر جون چند تا تخم مرغ داشتي؟"
خانم در حواب گفت:
"تعدادشونو نميدو نم اما وقتي آنهارا دوتا دوتا بر ميداشتم يكي باقي ميموند
وقتي سه تا سه تا بر ميداشتم يكي باقي ميموند, وقتي چهارتا چهارتا بر ميداشتم

 يكي باقي ميموند, وقتي پنحتا پنحتا بر ميداشتم يكي باقي ميموند, وقتي

 شش تا شش تا بر ميداشتم يكي باقي ميموند,

اما وقتيكه هفت تا هفت تا بر ميداشتم هيچي باقي نميموند.
اسب سوار حساب كرد و پول تخم مرغاي زن را داد.
سوال
كمترين تعداد تخم مرغي كه زن روستايي ميتوانست داشه باشد چندتا بود؟

 معمای 2-

 - سوال:

100 جعبه قند داريم كه در هر كدام 100 حبه قند موجود است و وزن هر حبه قند

 a گرم است.اگر يكي از جعبه هاي قند شامل حبه هايي به وزن a-1 گرم باشد

 چگونه مي توان با يكبار وزن كردن،جعبه شامل حبه هاي داراي وزن كمتر را يافت؟

ابوريحان محمد بن احمد بيروني ، نابغة نامدار ، نمونة مثالي زدني متفكران هوشيار و معتقد ايراني و بي‌شك يكي از بزرگترين دانشمندان جهان در تمامي اعصار است .

اين محقق جسور در سوم ذي حجة سال 362 هجري قمري در «بيرون» خوارزم (ناحية مصب آمودريا در ساحل جنوبي درياچة آرال) در خانواده‌اي خوارزمي تبار ، گمنام و شيعه مذهب (احتمالاً شيعه زيديه) به دنيا آمد . وي سالهاي آغازين عمر را در زادگاهش سپري كرد و به خوارزمشاهيان معروف به آل عراق كه در «كاث» فرمانروا بودند ، پيوست . ابونصر منصور بن علي عراق كه از خاندان شاهية خوارزم و از رياضيدانان و منجمان بزرگ ايراني بود ، تعليم و تربيت بيروني را بر عهده گرفت و بعدها رساله‌هاي مختلف رياضي خويش را به نام و براي شاگرد دانشورش نوشت .

ابوريجان از همان آغاز جواني مشغول تحققيق و تأليف شد . خود نوشته است . كه در حدود سال 380 هجري قمري ، يعني هنگامي كه تقريباً 18 ساله بود ، به رصد مي‌پرداخت . وي همچنان با ديگر دانشمندان هم عصرش مراودات و مكاتبات علمي داشت و مكاتبات علمي بيروني و ابن سينا با يكديگر بسيار مهم و معروف است .

ابوريجان تا حدود 23 سالگي در خوارزم و ظاهراً در رصد خانه‌اي مشغول تحقيق بود و حدوداً در سال 385 هجري قمري ، پس از انقراض خاندان آل عراق به دست مأمون بن محمد ، والي جرجانيه     (گرگانج) ، و قتل ابو عبدالله محمد بن احمد ، آخرين حكمران آل عراق ، به ناچار زادگاهش را ترك كرد و تا چند سال از شهري به شهر ديگر رفت . در خلال همين سفرها به ري رفت و چنان كه خود در مقدمة كتاب مقاليد علم الهيئه نوشته است ، در انجا با ابو محمود خجندي و كوشيار بن لبان گيلي ملاقات كرد .

بيروني در ري دچار تنگدستي و پريشانحالي بود و خود در اين باره حكايت جالبي را در آثار الباقيه نقل كرده است كه ما نيز به خلاصه‌اي از آن اشاره مي‌كنيم .

روزي بيروني در ري با يكي از منجممان آن شهر رو به روه شد و دريافت كه وي در پاره‌اي از محاسبات نجومي خود اشتباه مي‌كند . بيروني خطاي منجم را تذكر داد و منجم ، كه اطلاعات علميش بسيار كمتر از بيروني بود و خود نيز احتمالاً اين مسئله را مي‌دانست ، به جاي پذيرش نقص كار ، با تكبر فراوان ابوريحان را تحقير و گفتة او را تكذيب كرد . بيروني متوجه شد كه دليل رفتار غير منطقي آن منجم ، توانگر بودن خود او و فقر بيروني است . جالب‌تر اين كه بعدها ، وقتي بيروني از تنگدستي رهايي يافت ، منجم نظر او را تصديق كرد .

ابوريجان از ري به طبرستان و نزد مرزبان بن رستم از اميرزادگان آل باوند و صاحب كتاب مرزبان نامه رفت و كتاب مقاليد علم الهيئه را به نام او نوشت . همچنين مدتي نزد منصور دوم پسر نوح ساماني روزگار گذراند و از حمايت او برخوردار شد .

در سال 387 هجري قمري ظاهراً به خوارزم برگشت و با ابوالوفا محمد بن محمد بوزجاني ، كه در آن هنگام در بغداد بود ، مكاتبه كرد و آن دو با يكديگر قرار گذاشتند كه همزمان در بغداد و خوارزم ،     ماه گرفتگي را رصد كنند . 

ابوريحان در سال 388 هجري قمري به گرگان رفت و در دربار شمس المعالي قابوس بن وشمگير ، امير آل زيار ، از او به گرمي استقبال شد .قابوس مردي با فرهنگي و اديبي فاضل بود و به عربي و فارسي شعر مي‌سرود و در دربارش دانشمندان جايگاهي رفيع داشتند . بيروني كتاب آثار الباقيه را كه نخستين كتاب مشهور و عظيم او به عربي و دربارة گاهشماري است ، به نام شمس المعالي تأليف كرد . دانشمند ما حدود سال 399 هجري قمري به زادگاه خود بازگشت و در جرجانيه يا گرگانج (در شمال غربي خوارزم) به دربار ابوالعباس مأمون بن مأمون خوارزمشاه پيوست و در آنجا مقامي بلند يافت .

سلطان محمود در مراجعت به غزنه در سجستان (افغانستان) در بهار سال 408 هجري قمري بيروني و جمعي از فضلا و اهل عمل گرگانج را همراه خود به غزنه برد . ابوريحان از آن پس و به اجبار ،‌ شهر غزنه را مركز فعاليتهاي خويش قرارداد و شايد به صورت رسمي منجمي دربار محمود را به عهده داشت .

در دوران سلطنت مردود بن مسعود ملقب به شهاب الدوله (پسر مسعود كه پس از قتل وي در سال       432 هجري قمري به قدرت رسيد) نيز بيروني مورد عنايت و احترام دربار بود و كتاب المجاهر في معرفه الجواهر ، در شناخت گوهرها و كانيها ، از تأليفات اين دورة اوست . آخرين اثر ابوريجان كتاب الصيدنه في الطب و دربارة داروشناسي است . به گفتة خودش در زمان تأليف اين كتاب ، بيش از هشتاد سال داشت و اين مايه پويايي فكري و عزم علمي در چنين سني بسيار شگفت انگيز است . تاريخ فوت ابوريجان را سال 440 هجري قمري و محل فوتش را غزنه دانسته‌اند ولي منطقي به نظر مي‌رسد كه وي كمي بعد از سال 442 هجري قمري فوت شده باشد ؛ زيرا همانطور كه در بالا گفتيم ، خود او تصريح كرده است كه در زمان نوشتن صيدنه ، بيش از هشتاد سال داشت و اگر تاريخ تولد بيروني حقيقتاً سال 362 هجري باشد ، نمي‌توان مرگش را در سال 440 هجري قمري دانست ؛ مگر اينكه ميلاد وي پيش از سال 362 هجري قمري باشد .

ابوريحان شخصيتي اعجاب انگيز و منشور گونه داشت و بسيار پيشروتر از زمان خود به نظر مي‌رسيد . وسعت مشرب ، انصاف علمي ، ، دقت نظر ، دوري جستن از تعصبات و اشتياق غير قابل وصف او براي درك ، تحصيل و تحليل فرهنگها ، افكار و علوم جديد ، هويتي نسبتاً متفاوت با فرهنگ غالب آن روزگار به اين محقق شهير بخشيده بود .

بيروني رياضيدان ، ستاره شناس ، جغرافيدان ، مورخ ، مردم شناس ، دين شناس و فيزيكداني بزرگ بود و تقريباً در همة علوم زمان خويش به جز كيميا (شيمي) محققي نكته سنج به حساب مي‌آمد و همواره با خرافات به مبارزه مي‌پرداخت . بسياري از دانشمندان غرب و شرق از وي به عظمت ياد كرده‌اند و شخصيت پيشرو و منتقدش را با عباراتي به ياد ماندني ستوده‌اند .

اين حكيم نامدار ،‌ روحي وارسته و طبعي بلند داشت . روايت كرده‌اند كه وقتي تأليف كتاب قانون مسعودي به پايان رسيد ، سلطان مسعود غزنوي يك بارِ فيل نقره براي بيروني هديه فرستاد ولي وي آن را به خزانة حكومت بازگرداند و گفت : «مرا به اين مال نيازي نيست ، زيرا عمري به قناعت زندگي كرده‌ام و خوش ندارم پس از اين روشي ديگر در پيش گيرم» .

بيروني تا آخرين لحظة عمر در پي آموختن بود و شايد نقل آن حكايت بسيار معروف و آشنا ، همچنان خالي از لطف نباشد .

در آخرين ساعت حيات اين متفكر بزرگ ، وقتي نفسهايش به شماره افتاده بود ، دوست فاضلي بر بالين وي حاضر شد . ابوريحان با ضعفي كه تمام وجودش را فرا گرفته بود ، از دوستش مسئله‌اي پرسيد . آن مرد اندوهگين و شگفت زده گفت : «اكنون چه جاي چنين پرسشي است ؟» و ابوريجان زمزمه كرد : «بدانم و بميرم بهتر است ندانم و بميرم ؟» آن دوست پاسخ مسئله را توضيح داد و آنجا را ترك كرد ولي هنوز چند قدمي بيشتر نرفته بود كه شيون از خانة بيروني برخاست .

ابوريحان در تمام ايام سال به جز نوروز و مهرگان و روزهايي كه به ضرورتي كار خويش را تعطيل مي‌كرد ،‌مشغول محقيق وتفحص بود . از ويژگيهاي چهره و ظاهر بيروني نيز مانند بيشتر بزرگان اين كشور ، اطلاعات زيادي در دست نيست و تنها همين قدر مي‌دانيم كه او چهره‌اي گندمگون ، شكمي بزرگ و ريشي انبوه داشت .

ميراث علمي و فرهنگي ابوريجان بيروني

در سال 427 هجري قمري ، ابوريجان بنابر خواهش شخصي ، فهرستي از آثار محمد بن زكرياي رازي ، پزشك ، شيميدان و فيلسول و الا مقام سده‌هاي سوم و چهارم هجري قمري ، فراهم كرد و به دنبال آن فهرست عناوين 113 جلد از كتاب و رسالاتي كه خود تا به آن هنگام نوشته بود نو همچنين اسامي         25 جلد كتاب يا رساله‌اي كه ديگران به نام وي نوشته بودند ، آورد .

بنابر اين . مشخص است كه 113 اثر ياد شده ، شامل همة آثار اين محقق بزرگ نيست ؛ زيرا وي سالها بعد از اين تاريخ زنده بود و تا آخرين روزهاي زندگي مي‌نوشت .

بر اساس تحقيقات گستردة پژوهشگراني كه در صد سالة اخير آثار بيروني را گردآوري ، ترجمه و بررسي كرده‌اند (و به عنوان يك ايراني با شرمندگي بايد اضافه كنم كه دربارة اين دانشمند نيز مانند ديگر دانشمندان ما تقريباً دقيق‌ترين و اصولي‌ترين پژوهشها از آنِ غربيها است) نوشته‌هاي وي در مي‌توان در حدود 148 تا 153 عنوان تخمين زد و ظاهراً تنها 35 جلد از اين آثار از دستبرد حوادث محفوظ مانده است .

تنوع موضوعي اين كتب و رسالات از وسعت معلومات ابوريحان حكايت مي‌كند . اين آثار در زمينة حساب ، هندسه ، مثلثات ، ستاره شناسي ، نقشه‌كشي ، فيزيك ، مكانيك ، جغرافيا ، تاريخ ، گاهشماري ، دين شناسي ، اسطوره شناسي ، پزشكي ، كاني شناسي ، زبان شناسي ، ادبيات ، فلسفه و … تأليف يا ترجه شده‌اند . ابوبيجان كتاب التفهيم لا وائل صناعه التنجيم را به هر دو زبان فارسي و عربي نوشت و در نوشتن متن فارسي آن نهايت ذوق ادبي را به كار برد . اين كتاب به همراه دانشنامة علايي ابن سينا و تعدادي ديگر از آثار فارسي سده‌هاي چهارم و پنجم هجري قمري زمينه‌اي فراهم آوردند تا به مرور زمان         زبان فارسي بتواند به عنوان دومين زبان علمي و فلسفي جهان اسلام مطرح شود . التفهيم شامل پنج باب است و بابها به ترتيب ، موضوعات زير را در بر مي‌گيرند :

هندسه ، حساب و جبر و مقابله ، هيئت و جغرافيا و بوم شناسي ، اسطرلاب ، احكام نجوم . بيروني در هر يك از اين پنج باب ، اصطلاحات مربوط به علم يا فن مورد بحث را به شكل سئوال و جواب شرح داده است . به اين ترتيب ، التفهيم گنجينة گرانبهايي از اصطلاحات علمي را شامل مي‌شود كه با كمال دقت و مهارت و با عباراتي كوتاه تعريف شده‌اند .

كتاب مقاليد علم الهيئه (يعني كليدهاي دانش ستاره شناسي) نخستين كتابي است كه دربارة مثلثات كروي و مستقل از علم نجوم نوشته شده است . نام اين اثر نشان مي‌دهد كه بيروني ، مثلثات كروي را كليد فهم ستاره شناسي مي‌دانست .

كتاب راشيكات الهند بيروني كتابي است كوچك كه دربارة نسبت و تناسبت نوشته شده و در تاريخ رياضي بسيار اهميت دارد . بيروني در اين كتاب ، آنچه را كه دربارة نسبت و تناسب در رياضيات هندي مي‌دانست ، با آنچه در اين باره از رياضيات يوناني به دست او رسيده بود ، تلفيق كرد و چنين كاري تا پيش از آن سابقه نداشت .

بيروني چند روش براي تصوير نقاط متعلق به سطح كره بر يك صفحه اختراع كرده است . محاسبة تقريبي وتر يك درجه و مقايسة نتيجه محاسبات خود با محاسبات بطلميوس در اين مورد از ديگر تلاشهاي ارزشمند ابوريجان محسوب مي‌شود .

مقدار تقريبي نسبت قطر دايره به محيط آن (n/1 ) را دانشمند ما با روشي جديد به دست آورد و اندازة تقريبي ضلع نُه ضلعي منتظم محاطي را به وسيلة حل معادله ³x = x3 + محاسبه كرد  . بيروني نه تنها رياضيات نظري و كاربردي يوناني و هندي را به خوبي مي‌دانست ، بلكه مباحث مطرح شده در اين زمينه را تحليل و نقد مي‌كرد . او تعدادي از آثار رياضي و نجوم هنديان را به عربي برگرداند و بعضي از آثار مهم رياضي يونان را به سانسكريت ترجمه كرد .

بيروني به طالع بيني و پيشگويي بر اساس وضعيت ستارگان و صور فلكي ، كه به آن علم احكام نجوم مي‌گفتند ، هيچ اعتقادي نداشت ؛ هر چند كه اين فن را به كمال مي‌دانست و در دربار محمود غزنوي نيز از اين راه روزگار مي‌گذراند .

بيروني در كتاب تحقيق مالهنه كه اثري است فوق العاده نفيس و بي‌مانند در عصر خويش (و دقيق‌ترين و جامع‌ترين متني محسوب مي‌شود كه تا آن روز دربارة فرهنگ ، علم ، فلسفه ، اسطوره ، خرافه ،        مردم شناسي ، جامعه شناسي ، دين شناسي تطبيقي ، آداب و رسوم ، ويژگيهاي جغرافيايي ، تاريخ و … كشور هندوستان نوشته شده) نظرية بسيار پيشرفته‌اي دربارة علل پيدايش سرزمين هند از ديدگاه زمين شناسي ارائه مي‌دهد .

اين محقق بزرگ در كتاب المجاهر في معرفه الجواهر كه دربارة شناخت گوهرها (سنگهاي قيمتي) و فلزات نوشته شده است ، علاوه بر معرفي حدود 300 نوع كاني و سنگ و بيان آراء حكماي ايراني ، يوناني و … در اين باب ، آزمايشهاي خود را دربارة خواص الماس ، زمرد و … شرح مي‌دهد .

كتاب الصيدنه في الطب ابوريحان كه فرهنگنامة بسيار ارزشمندي در باب داروشناسي است ، فهرستي از داروهاي گياهي ، جانوري ، و كاني آن روزگار را شامل مي‌شود و از معتبرترين كتب مرجع طب سنتي ما به شمار مي‌آيد . اين شاهكار كم نظير ، ما را به سنت قديمي داروشناسي ايراني آشنا مي‌كند . بيروني در تنظيم اين اثر ، علاوه بر بررسي كلية كتب داروشناسي ايراني ، از منابع بابلي ، يوناني ، سرياني ، هندي و عربي نيز استفاده كرده است . در اينجا بايد يادآوري كرد كه ابوريحان علاوه بر زبان فارسي كه زبان مادري او بود ، زبان عربي سانسكريت و سرياني را به كمال مي‌دانست و با زبان يوناني و عبري نيز آشنايي داشت . كتاب عظيم و بي‌ بديل آثار الباقيه عن القرون الخاليه را بيروني در باب گاهشماري نوشت و در اين اثر ، تقديم اقوام و پيرامون اديان و مسلك گوناگون را بررسي و با يكديگر مقايسه كرد و مبدأ تواريخ  مختلف ، روشهاي تبديل تواريخ به يكديگر و ايام و شيوه‌هاي روزه‌ داري ، جشن و سوگواري معتقدان به اديان و آيينهاي متنوع را توضيح داد . در اين كتاب ، اسامي پيامبران از آدم تا خاتم ،‌ فهرستي از وقايع زندگي پيامبر اسلام (ص) به ترتيب زمان ، نامهاي پادشاهان ، دودمانهاي شاهي ايران ، مصر ، بابل و روم و تواريخ مربوط به هر يك و … و به شكل جداول بسيار دقيق تنظيم شده است .

يك خاصيت جالب عدد9:

عدد 9 به خصوص براي بچه هايي كه جدول ضرب را  به سختي ياد مي گيرند عدد بسيار جالبي است:زيرا مي شود از بخاطر سپردن حاصلضربها در 9 صرفنظر كرد .براي چه به حافظه خود فشار أوريم؟ وجود ده انگشت كافي است. براي اين منظور بايد هر دو دست را باز كرد سپس از سمت چپ شماره انگشتي را كه ميخواهيم در 9 ضرب كنيم خوابانده :حاصلضرب أن عدد در9 بطور عملي نشان داده مي شود.

مثلا اگر بخواهيم 9 را در 3 ضرب كنيم انگشت سوم را از سمت چپ خوابانده و حاصلضرب را ميخوانيم

 

بيش از دو هزار سال پيش ارشميدس (287-212 قبل از ميلاد) فرمول هايي را براي محاسبه سطح  وجه ها ، ناحيه ها و حجم هاي جامد  مثل كره ، مخروط و سهمي يافت . روش انتگرال گيري ارشميدس استثنايي و فوق العاده بود جبر ، نقش هاي بنيادي ، كليات و حتي واحد اعشار را هم نمي دانست .

ليبنيز (1716-1646) و نيوتن (1727-1642) حسابان را كشف كردند . عقيده كليدي آنها اين بود كه مشتق گيري و انتگرال گيري اثر يكديگر را خنثي مي كنند با استفاده از اين ارتباط ها آنها توانستند تعدادي از مسائل مهم در رياضي ، فيزيك و نجوم را حل كنند.

فورير (1830-1768) در مورد رسانش گرما بوسيله سلسله زمان هاي مثلثاتي را مي خواند تا نقش هاي بنيادي را نشان دهد .رشته هاي فورير و جابجايي انتگرال امروزه در زمينه هاي مختلفي چون داروسازي و موزيك اجرا مي شود .

گائوس (1855-1777) اولين جدول انتگرال را نوشت و همراه ديگران سعي در عملي كردن انتگرال در رياضي و علوم فيزيك كرد . كايوچي (1857-1789) انتگرال را در يك دامنه همبستگي تعريف كرد . ريمان (1866-1826) و ليبيزگو (1941-1875) انتگرال معين را بر اساس يافته هاي مستدل و منطقي استوار كردند .

ليوويل (1882-1809) يك اسكلت محكم براي انتگرال گيري بوجود آورد بوسيله فهميدن اينكه چه زماني انتگرال نامعين از نقش هاي اساسي دوباره در مرحله جديد خود نقش اساسي مرحله بعد هستند . هرميت (1901-1822) يك شيوه علمي براي انتگرال گيري به صورت عقلي و فكري ( يك روش علمي براي انتگرال گيري سريع ) در دهه 1940 بعد از ميلاد استراسكي اين روش را همراه لگاريتم توسعه بخشيد .

در دهه بيستم ميلادي قبل از بوجود آمدن كامپيوترها رياضيدانان تئوري انتگرال گيري و عملي كردن آن روي جداول انتگرال را توسعه داده بودند و پيشرفت هايي حاصل شده بود .در ميان اين رياضيدانان كساني چون واتسون ، تيچمارش ، بارنر ، ملين ، ميچر ، گرانبر ، هوفريتر ، اردلي ، لوئين ، ليوك ، مگنوس ، آپل بلت ، ابرتينگر ، گرادشتاين ، اكستون ، سريواستاوا ، پرودنيكف ، برايچيكف و ماريچيف حضور داشتند .

در سال 1969 رايسيچ پيشرفت بزرگي در زمينه روش علمي گرفتن انتگرال نامعين حاصل كرد . او كارش را بر پايه تئوري عمومي و تجربي انتگرال گيري با قوانين بنيادي منتشر كرد روش او عملاً در همه گروه هاي قضيه بنيادي كارگر نيست تا زماني كه در وجود آن يك معادله سخت مشتق گيري هست كه نياز دارد تا حل شود . تمام تلاش ها ااز آن پس بر روي حل اين معادله با روش علمي براي موفقيت هاي مختلف قضيه اساسي گذاشته شد . ايت تلاش ها باعث پيشرفت كامل سير و روش علمي رايسيچ شد . در دهه 1980 پيشرفت هايي نيز براي توسعه روش او در موارد خاص از قضيه هاي مخصوص و اصلي او شد .

از قابليت تعريف انتگرال معين به نتايجي دست ميابيم كه نشان دهنده قدرتي است كه در رياضيات مي باشد (1988) جامعيت و بزرگي به ما ديدگاه موثر و قوي در مورد گسترش در  رياضيات و همچنين كارهاي انجام شده در قوانين انتگرال مي دهد . گذشته از اين رياضيات توانايي دارد تا به تعداد زيادي از نتيجه هاي مجموعه هاي مشهور انتگرال پاسخ دهد ( اينكه بفهميم اين اشتباهات ناشي از غلط هاي چاپي بوده است يا نه ) . رياضيات اين را ممكن مي سازد تا هزاران مسئله انتگرال را حل نماييم به طوريكه تا كنون در هيچ يك از كتابهاي دستنويس قبلي نيامده باشد . در آينده ديگر وظيفه ضروري انتگرال اين است كه به ازمايش تقارب خطوط ، ارزش اصلي آن و مكانيسم فرض ها بپردازد

عجایب عدد 7

مقدمه:

عدد هفت عددي است که شايد مثل همه ي عدد هاي ديگر در نظر ما عادي جلوه کند اما نگرش ما وقتي متبلور مي شود که خواص عدد هفت را بدانيم و ببينيم چه «هفت» هايي در زندگي ما وجود دارند و ما در گير و دار زندگي ماشيني و با بي تفاوتي از کنار آن ها رد مي شويم مثلا شايد جالب باشد که بدانيم، رنگين کمان داراي هفت رنگ است .عجايب جهان، هفت تا هستند.(که به عجايب هفت گانه معروفند ) يا در يونان باستان، اسطوره اي با نام هفت خداي، در ذهن مردم نقش بسته است، ويا شهر عشق، که دراشعار عطار آمده

است، هفت شهر مي باشد، سوره ي مبارکه حمد، که اوّلين سوره ي قرآن کريم است، هفت آيه دارد. آسمان داراي هفت طبقه است. بهشت وجهنم هر کدام داراي هفت طبقه و درجه هستند و طواف خانه خدا هفت دور است، موسيقي ايران و يونان هفت دستگاه داد، هفت نوع ساز بادي وجود دارد و علاوه بر اين هفت نت موسيقي وجود دارد(دو، ر، مي، فا، سل، لا، سي) و…

ب) تاريخچه:

در سال ميلادي کتابي ار يک جهان گرد منتشر شد که، از جمله روش شمردن را در ميان قبيله اي از تورس شرح داده است. اينها براي شمردن تنها از دو واژه استفاده مي کردند: يک و دو. براي عدد سه مي گفتند «دو و يک » براي چهار «دو و دو»، براي پنج «دو و دو يک » و براي شش «دو و دو و دو» ولي براي عددهاي بزرگ تر از ?، هر قدر بود، مي گفتند «خيلي ». گرچه اين آگاهي مربوط به پايان سده ي نوزدهم است ولي مي تواند گواهي بر شيوه ي شمردن در آغاز شکل گيري مفهوم عدد در ميان انسان هاي نخستين باشد. بعد ها که براي عددهاي بزرگتر هم نامي در نظر گرفتند به احتمالي براي عدد «هفت» از همان واژه ي قبلي «خيلي» يا «بسيار» استفاده کردند. عدد هفت که سده هاي متوالي براي آنها نا شناخته بود، اندک اندک به صورت عددي مقدس در آمد. وقتي که مصري ها، بابلي ها و ديگر امت ها توانستند پنج سياره ي نزديک تر به خورشيد را بشناسند، با اضافه کردن ماه و خورشيد، به عدد هفت رسيدند و اين بر تقدس عدد ? افزود وقتي در قصه هاي کهن تر، که تا زمان ما هم ادامه پيدا کرده است، صحبت از شهري مي شود که هفت برج و هفت بارو داشت، به معناي آن است که اين شهر برج و باروهاي بسيار داشت. هفت آسمان و هفت دريا و هفت کشور، به معناي آسمان ها و کشور ها و درياهاي بزرگ است نه هفت آسمان و هفت دريا (نه کم و نه زياد ). هنوز در زبان فارسي اندرز مي دهند « هفت بار گز کن يک بار پارچه کن ». اين جمله به معناي آن نيست که براي دقت کار و کم کردن اشتباه در اندازه گيري يا هر کار ديگري بايد درست ? بار آزمايش کرد، نه شش يا هشت بار. در اينجا هم هفت به معني «بسيار» است. عدد?? هم چنين سرنوشتي دارد….

ب) هفت و…

نزد بسياري از اقوام عهد باستان «هفت» عدد ويژه اي بود. در فلسفه و نجوم مصريان و بابلي ها، عدد هفت به عنوان مجموع هر دو زندگي، سه و چهار، جايگاه ويژه اي داشت.(پدر و مادر و فرزند؛ يعني سه انسان، پايه و اساس زندگي هستند و عدد چهار مجموع چهار جهت آسمان و باد است.)
ايرانيان قديم در آيين زرتشت، اهورامزدا را مظهر پاکي ميدانستند و براي او هفت صفت را بر مي شمردند و در مقابل او اهريمن را پديد آورنده ي پليديها مي دانستند و مي گفتند در پيرامون اهورامزدا فرشتگاني هستند که مظاهر صفات حسنه هستند و براي احترام به آن ها که اول هرکدامشان سين بود هنگام سال تحويل سفره مي گستراندند و هفت قسم خوراکي که نام هريک با سين شروع مي شود: سير، سرکه، سيب، سماق، سمنو، سنجد، سکه، و سبزي را سر سفره مي گذاردند که به سفره ي هفت سين معروف بود.
براي فيلسوف و رياضيدان يوناني«فيثاغورث» نيز عدد هفت، مفهموم ويژه ي خود را داشت که از مجموع دو عدد سه و چهار تشکيل مي شود: مثلث و مربع نزد رياضيدانان عهد باستان اشکال هندسي کامل محسوب مي شدند، از اين رو عدد هفت به عنوان مجموع سه و چهار براي آن ها عدد مقدسي بود. علاوه بر اين در يونان هر هفت سياره را خدايي ميدانستند : سلن، هيليوس،آرس،هرمس، زئوس، آفروديت و کرونوس.
يهوديان قديم نيز براي عدد هفت معناي ويژه اي قايل بودند. در کتاب اول عهد عتيق (تورات) آمده است که خداوند جهان را در شش روز خلق کرد، در روز هفتم خالق به استراحت پرداخت. موسي در ده فرمان خود از پيروانش مي خواهد که اين روز آرامش را مقدس بدارند(روز شنبه و روز تعطيل يهوديان). علاوه بر اين در آن کتاب مقدس هفت با عنوان عدد تام و کامل نيز استعمال شده است. از آن زمان عدد هفت نزد يهوديان و بعد ها نيز نزد مسيحيان که عهد عتيق را قبول کردند، به عنوان عددي مقدس محسوب مي شد.
به اين ترتيب بود که از دوران باستان هفتگانه هاي بيشماري تشکيل شدند: يونانيان باستان همه ساله هفت تن از بهترين هنرپيشگان نقش هاي سنگين و غمناک و نقش هاي طنز و کمدي را انتخاب ميکردند. آن ها مانند رومي هاي باستان به هفت هنر احترام ميگذاشتند. روم بر روي هفت تپه بنا شده بود. در تعليمات کليساي کاتوليک هفت گناه کبيره(غرور، آزمندي، بي عفتي، حسد، افراط، خشم و کاهلي) و هفت پيمان مقدس(غسل تعميد، تسليم و تصديق، تقديس و بلوغ، ازدواج، استغفار و توبه، غسل قبل از مرگ با روغن مقدس، در آمدن به لباس روحانيون مسيحي) وجود دارد. براي پيروان محمد(ص) آخرين مکان عروج، آسمان هفتم محسوب مي شود. در بيست و هفتم ژوئن هر سال، روز «هفت انسان خوابيده » مسيحيان ياد آن هفت برادري را که در سال ??? بعد از ميلاد، براي عقيده و ايمان خود، زنده زنده لاي ديوار نهاده شده و شهيد شدند، گرامي مي دارند؛ مردم عامه مي گويند که اگر در اين روز باران ببارد، به مدت هفت هفته بعد از آن هوا بد خواهد بود، آن گاه انسان بايد هفت وسيله ي مورد نيازش را بسته بندي کند و با چکمه هاي هفت فرسخي خود به آن دورها سفر کند. صور فلکي خوشه ي پروين يا ثريا به عنوان «هفت ستاره» معروف است، در حالي که حتي با چشم هاي غير مسلح ميتوان در اين صورت فلکي تا يازده ستاره را ديد.
عرفاي بزرگ عشق و وصال را در هفت مرحله و هفت وادي نشان داده اند و فاصله ي بين هستي و تباهي را پنچ مرحله دانسته اند. در افسانه ها نيز با هفت سحر آميز برخورد مي کنيم: سوار ريش آبي هفت همسر داشت، سفيد برفي با هفت کوتوله پشت هفت کوه زندگي مي گرد و افسانه ي اژدهاي هفت سر…

علاوه بر اين مي توان به هقت اقليم، هفت اورنگ، هفت دفتر شاهنامه، هفت پيکر، هفت هيکل، هفت گناه کبيره، هفت خان رستم، هفت الوان، هفت گنج، هفت رکن نماز،هفت تحليل و هفت طواف (در اعمال حج)، هفت قبله(مکه، مدينه،نجف،کربلا،کاظمين،سامرا،مشهد) و… اشاره کرد و به اين ترتيب بود که تعداد بيشماري هفتگانه در دنيا بوجود آمد و به عدد هفت تقدس خاصي بخشيد.

منابع:

هفت در قلمرو تمدن و فرهنگ بشري/زهره والي-تهران:اساطير، 
هفت در قلمرو فرهنگ جهان/مويد شريف محلاتي،

سرگذشت رياضيات/ پرويز شهرياري_تهران: نشر مهاجر،
 دهکده ي رياضي(گاهنامه)/شماره ي اول_

 

هفت آسمانها

 

8 دايره و 8 كره ، 7 ميان دايره و 7 ميان كره در شكل توسعه يافته ستاره داوود ( 7 آسمانها )

8 دايره و 8 كره ، 7 ميان دايره و 7 ميان كره در شكل توسعه يافته ستاره داوود ( 7 آسمانها )   در شكل توسعه يافته ستاره داوود ، خطوط در نقاطي با هم تقاطع دارند كه اگر نقطه مركزي را در نظر بگيريم ، ميتوانيم هشت دايره از آن نقطه رسم كنيم ، يعني شكل زير :       فايل‌هاي  pdf  و   dwf  پيوست ميباشد . تعريف ديگري كه از يك نقطه در هندسه ميتوان داشت اين است كه ، نقطه به محل تلاقي دو يا چند خط گفته ميشود و يا اينكه ، نقطه وجه مشترك دو خط متقاطع است   در شكل فوق هشت كره تو در تو به شعاع‌هاي دواير ( مدارهاي ) قبلي رسم شده است ، كه ميتوان هفت ميان كره ( پوسته ) و يك هسته را تجسم نمود . براي درك بهتر موضوع ، كره‌ها برش خورده‌اند . همانطور كه مي‌دانيم عدد هفت يك عدد ديني است ولي در مباحث بعدي نشان خواهيم داد كه مي‌توان با سيستم شمارش دوجيني ، مكعب ، ستاره داوود ، ستاره داوود توسعه يافته ( هندسه دوجيني ) و هفت آسمانها ، كليه ساختارهاي فيزيكي موجودات در عالم از اتم گرفته تا حجم فضايي خود كيهان را توجيه نمود ، يعني حد فاصلي مابين فيزيك هسته‌اي و اختر فيزيك ( كل هستي و هر آنچه كه داخل آن است ) حتي نور ، زمان و .......   منبع: محمدرضا طباطبايي 1/8/86 http://www.ki2100.com/mat/8circle.htm   خاصیت اعداد بین صفر و یک در یک عبارت توان مانند a به توان x که a مثبت و ثابت و x عدد بزرگتر از یک باشد حاصل توان نیز زیاد میشود اما اگر a کوچکتر از یک و بزرگتر از صفر باشد (بین صفر و یک) حاصل توان کوچکتر میشود. به عبارت دیگر برای مثال شما اگر ۲ را به توان سه برسانید میشود هشت که از دو بیشتر است , اما اگر یک دوم (که عددی بین صفر و یک است) را به توان ۳ برسانید می شود یک هشتم که از یک دوم کوچکتر است.این خاصیت اعداد است که اگر عدی در انها ضرب شود یا به توان برسند جوابشان کوچکتر میشود. * ایا میدانستید که اگر یک عدد دو رقمی را انتخاب کنید(مثل ۴۷ یا ۸۹ و …) و سپس عددهای ان را از خود عدد دو رقمی کم کنید(مثلا عدد ۴۷ : ۳۶ = ۷ - ۴ - ۴۷ ) عدد بدست امده همیشه مضربی از ۹ خواهد بود. همچنین در مورد اعداد ۳ رقمی اگر چنین عملی شود (مثلا ۷۲۳ : ۷۱۱ = ۳ - ۲ - ۷ - ۷۲۳ )حال اگر رقمهای عدد بدست امده را با هم جمع کنید( ۹ = ۱+۱+۷ همیشه جواب یا ۹ خواهد بود یا ۱۸. *‌ عدد ۶ به هر توان طبیعی که برسد رقم یکان جوابش ۶ و رقم دهگانش فرد است و رقم یکان نصف این عدد همیشه ۸ خواهد بود. *‌ ۴ تقسیم بر یک دوم ۸ خواهد بود که به نظر می اید میشود ۲. منبع : سایت آکادمیست